Алгоритмы компьютерной графики

1.4. Кривая Безье
Разработана математиком Пьером Безье. Кривые и поверхности Безье были использованы в 60-х годах компанией "Рено" для компьютерного проектирования формы кузовов автомобилей. В настоящее время они широко используются в компьютерной  графике.
Кривые Безье описываются в параметрической форме:
Значение tвыступает как параметр, которому соответствуют координаты отдельной точки линии. Параметрическая форма описания может быть удобнее для некоторых кривых, чем задание в виде функции у =ƒ(х), поскольку функция ƒ(х) может быть намного сложнее, чем Px(t) и Py(t), кроме того, ƒ(x) может быть неоднозначной.
Многочлены Безье для Рx и Рy имеют такой вид:

где xi и yi— координаты точек-ориентиров Рi, а величины — это известные из комбинаторики, так называемые сочетания (они также известны как коэффициенты бинома Ньютона):

Значение да можно рассматривать и как степень полинома, и как значение, которое на единицу меньше количества точек-ориентиров.
Рассмотрим кривые Безье, классифицируя их по значениям т.
т = 1(по двум точкам)
Кривая вырождается в отрезок прямой линии, которая определяется конечными точками Ро и Р1, как показано на рис. 1.3:

m=2  (по трем точкам, рис. 1.5):

Рис. 1.5  Кривая Безье (m=1)                                         Кривая Безье (m=2)                                        
т = 3  (по четырем точкам, кубическая, рис 1.6). Используется довольно часто, в особенности в сплайновых кривых:


Рис. 1.6 Кубические кривые Безье (m=3)

Геометрический алгоритм для кривой Безье
Этот алгоритм позволяет вычислить координаты (х, у) точки кривой Безье по значению параметра t.
1.  Каждая сторона контура многоугольника, который проходит по точкам-ориентирам, делится пропорционально значению t.
2.Точки деления соединяются отрезками прямых и образуют новый многоугольник. Количество узлов нового контура на единицу меньше, чем количество узлов предшествующего контура.
3.    Стороны нового контура снова делятся пропорционально значению t. И так далее. Это продолжается до тех пор, пока не будет получена единственная точка деления. Эта точка и будет точкой кривой Безье (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Геометрический алгоритм для кривых Безье